Đề bài:
Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc giải, người ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận và có số điểm bằng tổng điểm của hai đội xếp nhì, ba và bằng tổng điểm của ba đội xếp cuối.
Hãy tìm số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối.
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài thì đội vô địch thua đúng 1 trận, do đó được tối đa 4 x 3 = 12 điểm. Cũng theo đề bài, đội vô địch có số điểm bằng 1/2 tổng điểm của 5 đội còn lại. 5 đội này đấu với nhau 10 trận, đem lại ít nhất cho tổng điểm là 20 điểm (mỗi trận hòa đem lại 2 điểm, mỗi trận thắng thua đem lại 3 điểm). Ngoài ra, họ có lấy được ít nhất 3 điểm từ đội vô địch.
Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23.
Suy ra đội vô địch được ít nhất 11,5 điểm.
Từ các lý luận trên, vì điểm của một đội là số nguyên nên đội vô địch được 12 điểm.
Từ đây, 5 đội còn lại có tổng điểm là 24. Họ lấy được 3 điểm từ trận thắng đội vô địch. Suy ra trong 10 trận đấu giữa họ với nhau, họ tạo ra được 21 điểm.
Suy ra chỉ có 1 trận thắng - thua trong 10 trận này, còn lại 9 trận hòa. Như vậy 5 đội còn lại chỉ có 2 trận thắng.
Ta có nhận xét rằng, do đội vô địch không có trận hòa nào, nên nếu một đội bóng được 5 điểm trở lên thì đội bóng đó thắng ít nhất 1 trận. Do vậy đội thứ tư được không quá 4 điểm (ngược lại, sẽ có 3 đội được 5 điểm trở lên, mỗi đội sẽ thắng ít nhất 1 trận, mâu thuẫn).
Do tổng điểm của 3 đội xếp cuối là 12 nên từ đây suy ra đội cuối bảng được 4 điểm.
Vậy đội vô địch được 12 điểm, đội xếp cuối được 4 điểm. Thực tế giải đấu như vậy có thể xảy ra với kết quả các trận đấu như bảng dưới đây:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | X | 1-0 | 0-1 | 2-0 | 3-0 | 4-0 |
| 2 | 0-1 | X | 2-0 | 0-0 | 0-0 | 0-0 |
| 3 | 1-0 | 0-2 | X | 0-0 | 0-0 | 0-0 |
| 4 | 0-2 | 0-0 | 0-0 | X | 0-0 | 0-0 |
| 5 | 0-3 | 0-0 | 0-0 | 0-0 | X | 0-0 |
| 6 | 0-4 | 0-0 | 0-0 | 0-0 | 0-0 | X |
Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét